Решение нестандартных задач

Решение нестандартных задач

Ниже представлены задачи по следующим темам:

• Системы счисления. Занимательные задачи на применение различных систем счисления. 
• Комбинаторика. В данном разделе представлены основные формулы комбинаторики и задачи по их применению.
• Множества. Диаграммы Эйлера.
• Логические задачи. Задачи на отношения, задачи, решаемые с помощью таблиц.

Ко всем задачам имеются ответы и пояснения. Задачи ориентированы на учащихся 5 – 8 классов.

Данная подборка задач и теоретического материала может использоваться учителем в качестве дополнительного материала  как непосредственно во время урока, так и в виде электронного ресурса во внеурочной деятельности учащихся, может служить опорой для подготовки детей к различным конкурсам и олимпиадам по информатике.

Системы счисления

1. Напишите наименьшее четырехзначное число в семеричной системе счисления.
2. Напишите наибольшее пятизначное число, в котором все цифры различны в пятеричной системе счисления.
3. Напишите наименьшее шестизначное число, в котором все цифры различны в шестеричной системе счисления.
4. Если 4 • 4 = 20, то чему равно произведение 5 • 5 в той же системе счисления?
5. В какой системе счисления:

а) 2 + 3 = 12;

б) 5 + 2 = 11;

в) 2 • 2 = 10;

г) 3 3 = 14?

6. Во сколько раз увеличится число 325₆, если приписать справа:

а) один нуль;

б) два нуля?

7. Во сколько раз уменьшится число 212000з, если отбросить:

а) один нуль;

б) три нуля?

8. Установите, в какой системе счисления выполнялось каждое из следующих действий:

а) 23 + 14 = 42;

б) 71 - 36 = 33;

в) 14 -2 = 30;

г) 55 : 4 = 13.

9. В какой системе счисления у квадрата 100 сторон? Сколько сторон в этой системе счисления у треугольника?
10. Учитель на вопрос, много ли у него в классе учеников, ответил: «В классе 100 детей, из них 25 мальчиков и 31 девочка». В какой системе счисления учитель дал ответ?

Ответы

1.       1000

2.      43210

3.      102345

4.      31, N=8

5.      а). N=3, б). N=6, в) N=4   г) n=5

6.      а) в 6 раз, б) в 36 раз

7.      а) в 3 раза, б) в 27 раз

8.      а) N=5  ,б) N=8   в)  n=8 г) n=7

9.      N=2, 11 сторон

10.  N=6

Комбинаторика.

Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов,  задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики связано с трудами великих французских математиков XVII века Блеза Паскаля (1623—1662) и Пьера Ферма (1601—1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов XX века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики — это правило суммы и правило произведения.

1.              Правило суммы

Если некоторый элемент А можно выбрать т способами, а элемент В — п способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать т + п способами.

Пример

Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

2.              Правило произведения

Если элемент А можно выбрать т. способами, а элемент В можно выбрать п способами, то пару А и В можно выбрать т * п способами.

Пример

Если есть 2 разных  конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно б способами (2 • 3 = 6).

Пример

Сколькими способами можно выложить в ряд три разноцветных (красный, синий и зеленый)  шарика?

Решение 1 способ

3 • 2 • 1 = 3! = 6

Ответ: 6 способов.

Решение 2 способ (дерева возможных вариантов)

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?
2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?
3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города Б в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
4. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «платок»?
5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?
6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?
7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?
8. Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?
9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?
10. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры нечетные?

Ответы

1.      6+5+4=15.

2.      3+2+4=9.

3.      5*3=15.

4.      2*4=8.

5.      8*6=48.

6.      4*7=28.

7.      3*3=9.

8.      2*2*2=8.

9.      3*4=12.

10.  5*5*5=125.

Множества. Диаграммы Эйлера

Леонард Эйлер(1707 – 1783)  великий математик, родился и вырос в Швейцарии, работал в России и Германии. В течение жизни написал более 850 работ, в одной из которых появились круги, которые «очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

1. Каждый ученик класса изучает или английский, или испанский, или оба языка. Английский изучают 25 человек; испанский — 27 человек; и английский и испанский — 18 человек. Сколько учеников в классе?
2. Из 40 учащихся класса 32 выписывают газету, 21 — журнал, 15 учащихся — и газету и журнал. Сколько учащихся не выписывают ни журнала, ни газеты?
3. В классе 35 учеников. 20 человек посещают мате­матический кружок, 11 — биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекаются математикой?
4. Среди чисел первой тысячи найдите количество чисел, не делящихся ни на 3, ни на 5.
5. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Все владеют по крайней мере одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают только два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек знают три иностранных языка?

Ответы

1.      34 чел.

2.      2 уч

3.      6 чел

4.      533

5.      70 чел

Решение логических задач

На всякого мудреца довольно простоты.

Пословица

Логика - это фундаментальная основа информатики как науки. Элементы и основы математической логики заложены в логические элементы и логические устройства ЭВМ, в основы алгоритмизации и языки программирования, в процедуры поиска информации в базах данных и в сети Интернет, а также в системах логического программирования, базах знаний и экспертных системах на ЭВМ.

Логика в информатике используется в поиске информации в Интернет, в базах данных, в алгоритмизации и во всех языках программирования.

Задачи с отношениями

Алгоритм решения задач с отношениями.

• Все отношения записываются символически.

• Отношения предлагается записывать в несколько строк (не более трех отношений на одной строке).

• Кружком выделяются символьные переменные, которые дважды не повторяются. Одна из них является началом ответа, а другая — концом.

• Последовательно попарно обводятся одинаковые символьные переменные.

• Все отношения записываются последовательно в одну строчку, проставляется порядок, даются ответы на поставленные вопросы.

Задача . Кто после кого пришел?

Лягушка встречала гостей. Лиса пришла раньше медведя, волк — позже зайца, медведь — раньше зайца, сорока — позже волка. Кто пришел раньше всех? В каком порядке приходили гости?

Решение

Ответ: лиса пришла раньше всех, медведь пришел вторым, заяц — третьим, волк —• четвертым, сорока — пятой.

Это был пример задачи с нетранзитивными отношениями.

Задача 1. Музыкальные инструменты

Два мальчика играют на гитарах, а один — на балалайке. На чем играет Юра, если Миша с Петей играют на разных инструментах, Петя с Юрой — тоже?

Задача 2. Семья

В семье трое детей — два мальчика и одна девочка. Их имена начинаются с букв «А», «В», «Г». Имена, начинающиеся с букв «А» и «В», — это имена одного мальчика и одной девочки. Имена, начинающиеся с букв «В» и «Г», — это имена одного мальчика и одной девочки. С какой буквы начинается имя девочки?

Задача 3. Сестры

У трех сестер — Юли, Тони и Веры — два платка синего цвета и один — розового. Какого цвета платок у каждой из них, если у Юли и Тони платки разного цвета, у Веры и Юли — тоже?

Задача 4. Рисование

Света, Зина, Галя, Таня рисовали цветы. Одна рисовала красным карандашом, трое других — синими. Галя и Зина рисовали карандашами разного цвета, Зина и Таня — тоже. Двое из них рисовали васильки, а другие — колокольчики. Кто что рисовал, если Зина и Таня рисовали одинаковые цветы, а Зина рисовала василек?

Задача 5. Фигурки из пластилина

Юра, Гена, Саша и Толя лепили зверей из пластилина. Двое лепили из серого пластилина, двое — из черного. Саша и Гена лепили из пластилина разного цвета, Гена и Толя — тоже. Юра лепил из черного пластилина, как и Гена. Получились трое мишек и один зайчик. Гена лепил не мишку. Кто кого лепил и какого цвета получились животные?

Задачи, решаемые с помощью схем и таблиц

Задача 1. Друзья

Петя и Миша имеют фамилии Белов и Чернов. Какую фамилию имеет каждый из ребят, если Петя на два года старше Белова?

Задача 2. Подруги

Света и Наташа имеют фамилии Корчагина и Петрова. Какую фамилию имеет каждая девочка, если Света и Корчагина живут в соседних домах?

Задача 3. У кого какая оценка?

Когда Аня, Женя и Нина спросили, какие им поставили оценки за контрольную работу по математике, учительница ответила: «Попробуйте догадаться сами, если я скажу, что в вашем классе «двоек» нет, а у вас троих оценки разные, причем:

у Ани не «тройка»,

у Нины не «тройка» и не «пятерка».

Какую оценку получила каждая из учениц?

Задача 4. Праздничный утренник

Галя, Марина и Оля пришли на праздничный утренник в платьях разных цветов — желтом, синем и розовом. Галя была не в жёлтом, Марина — не в желтом и не в розовом. В платье какого цвета была каждая из девочек?

Задача 5. Кто где живет?

Аня, Вера и Лиза живут на разных этажах трехэтажного дома. На каком этаже живет каждая из девочек, если известно, что Аня живет не на втором и не на первом этаже, Вера живет ниже всех?

Задача 6. В каких квартирах живут котята?

В квартирах №№ 1, 2, 3 живут три котенка — белый, черный, рыжий. В квартирах №№ 1 и 2 живут не черные котята. Белый котенок живет не в квартире № 1. В какой квартире какой котенок живет?

Задача 7. Кто какую игрушку спрятал?

Играя, каждая из трех подруг — Катя, Галя и Оля — опустили в свой мешочек одну из трех игрушек — медвежонка, зайчика, слоника. Оля не прятала ни зайчика, ни медвежонка. Катя спрятала зайчика. Они предлагают узнать, у кого какая игрушка находится в мешочке.

Задача 8. Кто каким карандашом раскрашивал?

Три товарища — Витя, Сережа и Коля — раскрашивали рисунки карандашами трех цветов: красным, синим, зеленым. Витя раскрашивал рисунок не красным и не синим карандашом, Коля — не синим карандашом. Каким карандашом раскрашивал свой рисунок каждый мальчик?

Ответы к задачам

ЗАДАЧИ С НЕТРАНЗИТИВНЫМИ ОТНОШЕНИЯМИ

1. Ответ: Юра играет на гитаре.
2. Ответ: имя девочки начинается с буквы «В».
3. Ответ: у Юли розовый платок, у Тони и Веры — синие
4. Ответ: Света и Галя рисовали колокольчик синими карандашами, Зина — василек красным карандашом, Таня — василек синим карандашом
5. Ответ: Толя и Саша лепили серого мишку, Гена — черного зайчика, Юра — черного мишку.

Задачи, решаемые с помощью схем и таблиц

1. Ответ: Петя имеет фамилию Чернов, Миша — Белов.
2. Ответ: Света имеет фамилию Петрова, Наташа — Корчагина
3. Ответ: Аня получила оценку «5», Нина —  «4», Женя — «3».
4. Ответ: Оля была в желтом платье, Марина — в синем, Галя — в розовом.
5. Ответ: Аня живет на третьем этаже, Вера — на первом, Лиза — на втором.
6. Ответ: рыжий котенок живет в квартире № 1, белый — № 2, черный — № 3.
7. Ответ: у Оли в мешочке спрятан слоник, у Кати — зайчик, у Гали — медвежонок.
8. Ответ: Витя раскрашивал зеленым карандашом, Коля — красным, Сережа — синим.

Литература:

Смыкалова  Е.В. Дополнительные  главы по математике для учащихся 5 класса. СПб: СМИО Пресс, 2009. – 48 с.

Логические задачи/ О.Б. Богомолова – М. Бином. Лаборатория знаний, 2006. – 271 с.