Одним
из мощных методов решения логических задач является решение с помощью законов
алгебры логики.
Алгоритм решения
логических задач с помощью алгебры логики:
1) внимательно изучить условие;
2) выделить простые высказывания и
обозначить их латинскими буквами;
3) записать условие задачи на языке алгебры
логики;
4) составить конечную формулу, для этого
объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять
произведение единице;
5) упростить формулу, проанализировать
полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице
значения переменных, для которых F = 1, проанализировать результаты.
Задача1 " Кто преступник"
1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал,
то Сидоров участвовал";
2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не
участвовал".
Рассмотрим решение этой несложной задачи двумя способами: с помощью таблиц истинности и с помощью алгебраических преобразований.
1 способ
Составим выражения:
I - "Иванов участвовал в преступлении";
S - "Сидоров участвовал в преступлении"
¬I˅P→S и ¬I→¬S
Из таблицы видно, что совершил преступление Иванов
Способ 2
Применим для решения этой же задачи преобразования с
помощью законов алгебры логики:
( ¬I˅P→S) &( ¬I→¬S)=(¬(¬I˅P)˅S) & (I˅¬S) =
= (I & ¬P ˅S) &(I ˅¬S) = I&¬P˅ I & S˅ I &¬P &¬S ˅0=
= I&¬P ˅ I & S =I & (¬P˅S)
Из последнего выражения видно, что выражение верно, если I=1, значит преступник - Иванов.
Задача 2 "Прогноз погоды"
Определить участника преступления, исходя из двух
посылок:
посылок:
1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал,
то Сидоров участвовал";
2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не
участвовал".
Рассмотрим решение этой несложной задачи двумя способами: с помощью таблиц истинности и с помощью алгебраических преобразований.
1 способ
Составим выражения:
I - "Иванов участвовал в преступлении";
P - "Петров участвовал в преступлении";
S - "Сидоров участвовал в преступлении"
.
Запишем посылки в виде формул:
Запишем посылки в виде формул:
¬I˅P→S и ¬I→¬S
Из таблицы видно, что совершил преступление Иванов
Способ 2
Применим для решения этой же задачи преобразования с
помощью законов алгебры логики:
( ¬I˅P→S) &( ¬I→¬S)=(¬(¬I˅P)˅S) & (I˅¬S) =
= (I & ¬P ˅S) &(I ˅¬S) = I&¬P˅ I & S˅ I &¬P &¬S ˅0=
= I&¬P ˅ I & S =I & (¬P˅S)
Из последнего выражения видно, что выражение верно, если I=1, значит преступник - Иванов.
Задача 2 "Прогноз погоды"
На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Так какая же погода будет завтра?
Решим эту задачу средствами алгебры логики.
Решим эту задачу средствами алгебры логики.
Решение:
1. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»
B – «Пасмурно»
С – «Дождь»
A – «Ветра нет»
B – «Пасмурно»
С – «Дождь»
2. Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:
A → B & C
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:
С → B & A
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра
B → C &
в) Запишем произведение указанных функций:
F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A)
Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:
A → B & C
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:
С → B & A
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра
B → C &
в) Запишем произведение указанных функций:
F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A)
Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):
F=(A→ B & ¬C) & (C→B & A) & (B→ C & A)
= (¬A v B & ¬C) & (¬C v B&A) & (¬B v C&A) =
= (¬A v B & ¬C) & (¬B v C&A) & (¬C v B&A) =
= (¬A &¬ B v B&¬C&¬B v ¬A&C&A v B&¬C&C&A) &
(C v B&A)=
(C v B&A)=
= ¬A & ¬B &(C v B&¬A) =A&¬B&C v¬ A&¬B&B&¬A =
= ¬A&¬B&¬C
3. Приравняем результат единице, т.е. наше выражение должно быть истинным:F = ¬A &¬ B & ¬C = 1 и проанализируем результат:
Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.
¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1.значит: A = 0; B = 0; C = 0;
Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.
Задача 3 «История с амфорой».
Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения.
Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения.
Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в
V веке». Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке». Гриша: «Это
сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».
Учитель истории сказал ребятам, что каждый
из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен
сосуд?
Введем следующие обозначения:
«Это сосуд греческий» — G;
«Это сосуд финикийский» — F;
«Сосуд изготовлен в III веке» — V3;
«Сосуд изготовлен в IV веке» — V4;
«Сосуд изготовлен в V веке» — V5.
«Это сосуд финикийский» — F;
«Сосуд изготовлен в III веке» — V3;
«Сосуд изготовлен в IV веке» — V4;
«Сосуд изготовлен в V веке» — V5.
Формализуем задачу, записав в данных обозначениях условия задачи.
Со слов учителя следует, что Алеша прав только в чем-то одном: или G = 1,
или V5 = 1.
Таким образом, тождественно истинным будет высказывание: G¬V5 v ¬GV5.=1
Аналогично, из слов Бори и учителя следует: F¬V3 v ¬FV3 = 1,
а из слов Гриши и учителя: ¬G¬V4 v GV4 = 1.
Кроме того, ясно, что сосуд может быть изготовлен только в одном из веков и
только в одной из стран. Эти условия можно записать так:
V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5 = 1,
F¬G v ¬FG = 1.
Итак, мы получили пять тождественно истинных высказываний. Их нужно
логически перемножить. Результат должен быть также тождественно истинным
высказыванием:
1 = (G¬V5 v ¬GV5) & (F¬V3 v ¬FV3) & (¬G¬V4 v GV4) & (F¬G v ¬FG) & (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5) =
(упростим: сначала перемножим первую
и третью скобки и вторую и четвертую скобки)
=(G¬V5¬G¬V4˅¬GV5¬G¬V4 ˅ G¬V5GV4 ˅ ¬GV5 GV4)&( F¬V3 F¬G˅¬FV3 F¬G˅ F¬V3 ¬FG ˅ ¬FV3¬FG) & (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5) =
учитывая, что, G¬G = 0, GG = G,¬ G¬G =¬ G, упростим
выражения в первой и второй скобках:
=(¬GV5¬V4 ˅ ¬V5GV4 ) &( ¬FV3G ˅¬V3 F¬G)& (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5) =
(перемножим первую и вторую скобки и упростим полученное выражение)
(¬GV5¬V4 ¬FV3G˅¬V5GV4¬FV3G˅¬GV5¬V4 ¬V3 F¬G ˅ ¬V5GV4¬V3 F¬G) & (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ (¬V3¬V4V5)= (¬V5V4¬FV3G˅¬GV5¬V4 ¬V3 F) & (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5)= ¬GV5¬V4 ¬V3 F
¬GV5¬V4 ¬V3 F=1, если ¬G=1, V5=1, ¬V4 =1, ¬V3=1, F=1
Итак, сосуд финикийский и изготовлен в V веке.
Задача 4 «Поход в кино».
Задача 4 «Поход в кино».
Андрей, Аня и Маша решили пойти в кино. Каждый из них высказал свои пожелания по поводу выбора фильма.
Андрей сказал: «Я хочу посмотреть французский боевик».
Маша сказала: «Я не хочу смотреть французскую комедию».
Аня сказала: «Я хочу посмотреть американскую мелодраму».
Каждый из них слукавил в одном из двух пожеланий. На какой фильм пошли ребята?
Решение:
1. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
А — «Французский фильм»
В — «Боевик»
С — «Комедия»
2. Запишем логические функции (сложные высказывания). Учтем условие о том, что каждый из ребят оказался прав в одном предположении:
а) «Французский боевик» ¬A&B˅A&¬B
б) «Американскую мелодраму» ¬¬A&¬B˅¬ А &¬¬В
в) «Нефранцузская комедия» ¬¬A&C˅¬A&¬C
3. Запишем произведение :
(¬A&B˅A&¬B) & (¬¬A&¬B˅¬ А&¬¬В)&( ¬¬A&C˅¬A&¬C)=1.
(¬A&B˅A&¬B) & (¬¬A&¬B˅¬ А&¬¬В)&( ¬¬A&C˅¬A&¬C)=1.
Упростим формулу: (¬A&B˅A&¬B) & (¬¬A&¬B˅¬ А&¬¬В)&( ¬¬A&C˅¬A&¬C)=
(¬A&B˅A&¬B) & (A&¬B˅¬ А&В)&( A&C˅¬A&¬C)=
=(¬A&B& A&¬B˅ A&¬B& A&¬B˅¬A&B &¬А&В˅ A&¬B&¬A&B)&( A&C˅¬A&¬C)=
=(A&¬B ˅¬A&B)&( A&C˅¬A&¬C)= A&¬B& A&C˅¬A&B& A&C˅ A&¬B&¬A&¬C˅¬A&B&¬A&¬C=
= ¬A&B&¬C˅ A&¬B&C =1
6. Составим таблицу истинности для выражения:
¬A&B&¬C˅ A&¬B&C:
¬A&B&¬C˅ A&¬B&C:
А
|
В
|
С
|
¬A&B&¬C˅A&¬B&C
| |
0
|
0
|
0
|
0
| |
0
|
0
|
1
|
0
| |
0
|
1
|
0
|
1
| |
0
|
1
|
1
|
0
| |
1
|
0
|
0
|
0
| |
1
|
0
|
1
|
1
| |
1
|
1
|
0
|
0
| |
1
|
1
|
1
|
0
|
7. Найдем по таблице значения переменных, для которых F=1.
А)
0
|
1
|
0
|
1
|
Б)
| |||
1
|
0
|
1
|
1
|
8. Проанализируем результат:
Результат Б) не является решением, т.к. в ответе Маши оба утверждения оказываются неверными, что противоречит условию задачи.
Результат А) полностью удовлетворяет условию задачи и поэтому является верным решением.
Ответ: ребята выбрали американский боевик.
А
А
Решите самостоятельно задачи уровня 3
Этот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалитьВ задаче 2 опечатка: вместо A → B & C надо A → B & ¬C
ОтветитьУдалитьИ недописано третье условие.
Проверьте 2 задачу. Много опечаток.
УдалитьПривет всем, я Иисус Маккинни из Техаса, и я просто хочу сказать очень громкое спасибо финансовым кредитным службам от Бенджамина Ли за их искренность, открытость, прозрачность, правдивость, любовь и поддержку во время и после получения от них ссуд. Я через многое прошел, и время не позволяет мне рассказать обо всем, через что я прошел онлайн в гостях или получить ссуду, чтобы получить дом здесь, в США, но Бог ответил на мои молитвы через поддержку и любовь со стороны Бенджамина Ли, который обнял меня и понял меня, несмотря на мои первоначальные сомнения и несерьезность, и с его добрым сердцем и любовью, я теперь являюсь владельцем дома через его 2 процентных ссудных фонда, и я клянусь распространить эту новость, а также рассказать миру, что все еще есть настоящие и Есть несколько хороших онлайн-кредитных компаний, которые могут помочь, а также оживить сухую кость. не упустите возможность послушать и прочитать это свидетельство, потому что это настоящий жизненный опыт, и любой, кто нуждается в таком изменении, не должен колебаться или сомневаться в этом потому что я доказал и клянусь богом на небесах, что эта история реальна, а также история моего опыта с ними. свяжитесь с ними сегодня. Текст в WhatsApp: (+1 989-394-3740) электронная почта: 247officedept@gmail.com
ОтветитьУдалитьЭтот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалитьЭтот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалитьЭтот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалитьhttps://zaochnik.com/reshenie-zadach/logika/
ОтветитьУдалить